作者：李曉奇，東北大學秦皇島分校數學與統計學院教授，主要研究方向為數學史。

　　本文摘編自呂變庭主編《科學史研究論叢 第1輯》一書，有刪減，轉自科學網。

　　對任何一個學科來說，研究其歷史都是非常重要的。而對于數學這一學科尤為重要，這是數學學科自身的特征決定的。

　　為什么要學習數學史

　　這個問題可謂前人之述備矣。但在這里我們還是要把一些要點說出來，以給學生們啟發。

　　英國哲學家里德(T.Reid，1710—1796)說：

　　“數學系統一旦在少數公理和原始定義的基礎上完美地建立起來，就構成了一個堅如磐石的基礎。然后年復一年地發展和成長，最終形成一種能為人類理性所引以為自豪的堅固結構。”

　　這就提醒我們這樣一個事實：數學思想的起源與傳播有其自身規律，相對其他學科來講有更強的連續性。數學理論體系從未發生推倒重來的情況，數學發展史上的每一次突破都奠基于前人成果的基礎之上。因而，溫故知新成為數學傳播研究的必由之路。注意一下就會發現：數學是建立在公理的基礎上的，而其他科學是建立在假說的基礎上的。這才導致數學擁有與其他科學不同的特征，數學史的研究也顯得十分重要了。數學的實質在于有一套提出問題和解決問題的普遍理論和方法。相對數學而言，科學的證明依賴于觀察、實驗數據和理解力;數學的證明是依靠嚴密的邏輯推理。而在思維嚴密的數學家眼里，物理學、化學、生物學、天文學等自然科學都是經驗科學，難以達到數學定理證明所具有的絕對程度，只能提出近似于真理的概念。

　　數學不僅是自然科學的“王后”，同時也是自然科學的“仆人”，一直忠實地服務于其他科學。這完全是緣于她的能力。因為過去的經驗告訴我們，所有的科學問題在本質上都是簡單而有序的。物理學所有的定理都可以用數學公式表示出來。人類的智慧堅持用簡單的概念闡明科學的基本問題，數學就是一個基本的方法。

　　數學是歷史積淀的產物，只有了解數學史才有利于對數學作整體的把握。數學史研究的是歷史上的數學，探討其產生和發展的原因、規律，以及受其他社會因素影響的數學問題;還要研究數學在萌芽、形成和發展過程中起主導作用的基本思想及其傳播和繼承的規律。不僅涉及過去的和現在的數學，還探討未來數學的發展趨勢與特點，以指引當前數學科學的走向，為現代數學研究和數學教育服務。

　　數學在其發展過程中，在解決諸如不變與變，有限與無限，部分與整體，具體與抽象，離散與連續，確定與隨機，精確與近似等矛盾的過程中，形成了特色鮮明的科學思想和方法。

　　除了少數專業數學工作者研究純數學，大多數數學家或科技工作者從事的是應用數學的研究。應用數學是利用數學的方法來發展經驗科學的學科。應用數學始于經驗性事實，止于對經驗性事實進行規律性預測，這些規律還必須被其他的實驗數據所證實。從研究過程可以看出應用數學的真諦：從自然現象出發，回到自然現象。因此，用數學理論來發展經驗科學往往又會向數學提出深刻的挑戰，并啟示純數學研究的新方向。

　　關于數學歷史與創新的關系，吳文俊院士有深刻的論述，他說：

　　“假如你對數學的歷史發展，對一個領域的發生和發展，對一個理論的興旺和衰落，對一個概念的來龍去脈，對一種重要思想的產生和影響等這許多歷史因素都弄清了，我想，對數學就會了解得更多，對數學的現狀就會知道得更清楚、更深刻，還可以對數學的未來起一種指導作用，也就是說，可以知道數學究竟應該按怎樣的方向發展可以收到最大的效益。”

　　近代應用數學發端于英國，牛頓是其鼻祖。為了解釋觀察到的大量天體運行的資料，解釋天體運行的基本規律，牛頓建立起天體運行的數學模型，提出了劃時代的三大力學定律和萬有引力定律。但是，力學定律的內涵超越了那個時代傳統數學的范圍，牛頓不得不開拓新的領域，發明了微積分，然后再用微積分、力學定律和萬有引力，求得了行星運行的規律。在19世紀末的英國，所有的理論物理被稱為應用數學。人們運用“概括法”從一個復雜的物理過程中概括出關鍵的物理因素，然后再用數學進行分析。

　　學習數學史要達到的幾個目的

　　李文林先生說過，研究數學史通常有三種態度：為歷史而歷史，為數學而歷史，為教育而歷史。

　　對于我們從事高等教育的人來說，當然免不了要把數學史的研究和學習與教育聯系起來。我們想達到的目的當然很多，但其中的幾個需要特別提出。

　　1.對數學抽象性的認識

　　抽象是數學的特點，也經常成為學習的難點。在此，讓學生們認識到抽象的基本過程和抽象的作用是必要的。抽象不僅是高度的概括和提煉，而且越抽象的東西應用范圍也越廣。

　　數學史上最早也是最重要之一的抽象是正整數的出現。數學問題本來就源于“實在的”而不是抽象的問題。早期的數值十分具體，而不像今天的數據那么“抽象”。

　　因此，從5匹馬到5個“東西”再到“5”便成就了數學史上巨大的精神飛躍。

　　接下來就是另一個“飛躍”。正整數的出現自然驅使人們去研究它的運算規律。如果單純探討2+3=3+2, 5+8=8+5等等的具體結果就會陷入無休止的羅列中。人們巧妙地引入了符號：

　　a+b=b+a

　　這里a、b可以代表任意正整數。

　　隨著符號的引入，數學進入了從“數”到“類”的飛躍，從而從算術階段進入了代數階段。

　　相信學生們在此會“頓悟”的，也許學習過程中從來沒有人給他們點透過。就好像學生在應試過程中做了無數的對數題目，卻沒有意識到對數運算法則的實質——降低運算級別:

　　“ …by shortening the labours, doubled the life of the astronomer。”

　　(以縮短計算時間使天文學家壽命加倍)

　　——Pierre-Simon Laplace

　　2.對世界各個文明所做貢獻的客觀認識

　　在公元前2000年，古巴比倫數學的發展就已經開始。而他們對勾股定理(畢達哥拉斯定理)的研究在至少公元前1700年就已經取得了驚人的成就。出土的泥板中有大量的數學文獻，包括15組勾股數。其中最大的一組勾股數按照現代的計數方法，斜邊是18541，一條直角邊是12709。

　　事實上數學史上有四個偉大時代：古巴比倫時代、古希臘時代、牛頓時代以及始于19世紀初直至現在的黃金時代。

　　3.了解中西方數學思維的差異

　　中國人擅長計算，而古希臘人擅長邏輯推理。泰勒斯(Thales, 約公元前624—前547)開邏輯證明之先河：他不滿足于人們看到的一個圓被其任一直徑分割為相同的兩部分，還要想辦法“證明”它們是相等的。他認為靠直觀觀察畢竟是有限的，系統的證明才更加可靠和長久。

　　4.了解前人的奮斗歷史和治學精神

　　這也是“為教育而歷史”的目的之一——就是要通過選擇生動、豐富、典型的歷史事件或史實，并用恰當方式展現在課堂或課程中，讓學生切實“了解數學產生與發展的過程，體會數學對人類文明發展的作用，提高學習數學的興趣，加深對數學的理解，感受數學家的嚴謹態度和鍥而不舍的探索精神”。

　　惠威爾(W.Whewell)在《歸納科學史》中寫道：

　　“除了頑強的毅力和失眠的習慣，牛頓不承認自己與常人有什么區別。當有人問他是怎樣做出自己的科學發現時，他的回答是：‘老是想著它們’。另一次他宣稱：如果他在科學上做了一點事情，那完全歸功于他的勤奮與耐心思考，心里總是裝著研究的問題，等待那最初的一線希望漸漸變成普照一切的光明。”

　　希爾伯特在1930年退休時被柯尼斯堡授予榮譽市民稱號。他發表了演說，并以著名的六個字作為結束，以表達他對數學的熱愛以及奉獻于數學的一生：

　　We must know, we shall know!

　　5.了解數學的發展過程和教材、專著的差別

　　數學論文和專著一般都是經過“包裝”的，也就是說，是按邏輯順序從定義到性質、定理等等組織內容、精心撰寫的。那些數學真理、數學定理又是怎樣被發現的?往往很少涉及，或語焉不詳。而對于學習、研究和應用數學的人來說，這一點又恰恰至關重要。而且常常書籍之中展現的結果剛好跟實際演變過程相反，自然導致學生在學習中感到困難，這就需要我們教師給予點撥。

　　對于數學史及數學思想的灌輸，我們首先應該認識到它的重要性，應該傳授給學生以思想和方法?？梢哉f數學思想和方法比數學計算更重要。當然這就對教師提出了更高的要求。